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Come convincere con una dimostrazione

Roberto SaffirioSpesso, nei corsi scolastici di matematica e nei libri di testo la dimostrazione viene considerata il momento essenziale, talvolta addirittura preponderante, dell’intera trattazione di un problema. Lo schema enunciati-dimostrazioni è l’impostazione tipica aristotelico-euclidea che tende a far coincidere con questo stile la sostanza della razionalità matematica.

Eppure, anche per i matematici puri, la dimostrazione è solo una parte del lavoro: essa è preceduta da una fase di intuizioni, di congetture, di tentativi che si perfezionano nel corso del ragionamento, a tal punto che non di rado le dimostrazioni tecniche in materia di fisica e di chimica acquisiscono una cifra scenica notevole, quasi spettacolare.

Nel pensiero logico forma e sostanza si fondono nella verità.

Il ruolo di questa fase pre-dimostrativa è generalmente affidato a capacità di intuizione individuale prima ancora che di organizzazione razionale della dimostrazione. Capire intuitivamente non significa semplicemente vedere. Si devono considerare tre livelli di accettazione intuitiva della realtà:
1. l’espressione dell’affermazione stessa,
2. la struttura della dimostrazione proposta,
3. la validità universale dell’affermazione garantita dalla validità della dimostrazione.

Formalmente non ci sarebbe differenza tra l’accettare la correttezza di una dimostrazione e l’accettare l’universalità dell’affermazione su cui essa si basa. Il fatto che l’accettazione risulti difficoltosa introduce semmai un elemento in più: il bisogno umano di un’accettazione intuitiva complementare di un’affermazione che è stata formalmente provata. Tutti i problemi posseggono una soluzione logica, ma per alcuni essa si trasforma in una nuova teoria, difficile da afferrare. Pochi sono quelli che danno vita ad una soluzione immediatamente pratica.

Una presentazione professionale non può dunque prescindere da un passaggio dimostrativo poiché: per non avere torto bisogna pur sempre riuscire a dimostrare di avere ragione.

La dimostrazione è certamente una fase fondamentale dell’apprendimento logico; ma non bisogna dimenticare che non sempre essa è in grado di convincere pienamente, di catturare l’attenzione. Emotivamente, l’ascoltatore può restare in parte o del tutto insensibile ad una “tradizionale” dimostrazione, mentre può essere affettivamente coinvolto, in termini spesso decisivi, da un’argomentazione più vicina all’esperienza, ad una procedura ripetibile, anche se, forse, meno “rigorosa”.

Uno dei più importanti matematici contemporanei, Jacques Hadamard (1865-1963), ha sempre sostenuto che un elemento affettivo sia forzatamente parte di ogni scoperta o invenzione è sin troppo evidente, poichè è chiaro che nessuna scoperta o invenzione significativa può essere fatta senza che prima esista la volontà di scoprire, anche per caso.

Il principale nemico della dimostrazione è l’abitudine poiché essa stessa è una dimostrazione: che non sempre la tradizione è la soluzione migliore.

Dunque il ruolo dell’aspetto affettivo si conferma primario e fondamentale nell’apprendimento logico, particolarmente per quanto riguarda l’accettazione dei fatti. Ecco il principale motivo per cui, in una presentazione, dovrebbe essere un partecipante ad essere coinvolto in prima persona nel processo dimostrativo secondo il seguente copione:
il partecipante viene posto in condizione di attivare un meccanismo causa-effetto e  sbaglia producendo un errore rispetto al risultato atteso,
un altro partecipante riprova usando il medesimo metodo e sbaglia, oppure il medesimo partecipante prova ancora con un nuovo metodo ma fallisce per la seconda volta e riproduce il medesimo errore rispetto al risultato atteso,
si introduce il metodo vincente e la terza prova del partecipante ha successo.

Per concludere un ritorno alla matematica, con un riferimento al ruolo didattico della dimostrazione e dell’esperienza concreta in geometria (ma immediatamente estesa all’aritmetica ed all’algebra): “Molti insegnanti di matematica sono convinti che attraverso le dimostrazioni gli studenti imparino sia i contenuti‚ sia la struttura logica‚ della disciplina, e siano educati allo spirito critico. Almeno per la geometria, questa è un’illusione. I fenomeni che coinvolgono l’elemento “spazio”‚ si imparano per esperienza concreta (in certa misura, anche quella offerta dal metodo delle coordinate); del resto, anche altri settori, nei quali i fatti sono meno palpabili, come l’aritmetica e l’algebra, si apprendono anzitutto affrontando problemi, escogitando metodi di risoluzione.

A cura di Roberto Saffirio

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Giacomo Bruno

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